SSE WEEKLY COLLOQUIUM活动回顾 | 2023理工学院系列研讨会第四十三讲
2023年10月13日上午，理工学院Weekly Colloquium迎来了第四十三场系列讲座。本次讲座邀请嘉宾为胡盛清教授。胡教授为我校师生带来题为“Long Time Stability of KAM Tori for Derivative Nonlinear Schrödinger Equation”的学术报告会。让我们一起看看本期讲座内容吧！
一
讲者简介
胡盛清博士于2013年在四川大学数学学院获得理学学士学位，2018年在北京大学数学科学学院获得博士学位。在博士期间，曾到美国杨百翰大学交流学习一年。2018年至2020年期间，在南京大学数学系从事博士后研究工作。她研究兴趣包括微分方程与动力系统、KAM理论、Hamilton-Jacobi方程、变分方法等。
二
讲座内容
本次研讨会中，胡盛清教授介绍了动力系统中的KAM环面理论，并展示了其在导数非线性薛定谔方程（Derivative Nonlinear Schrödinger Equation, DNLS方程）的长期稳定性（long-time stability）中的应用。
胡教授首先从近可积哈密顿系统（nearly integrable Hamiltonian system）出发，引入了“不变环面”（invariant torus）的概念。在无微扰条件下，不变环面可以覆盖整个相空间。而在微扰条件下，经典KAM理论指出，在给定非退化与光滑的初始条件下，大部分不变环面只经受了微小形变，而部分环面遭到破坏，表现出阿诺德散射（Arnold’s diffusion）。Nekhoroshev估计则给出了方程解依赖于微扰的长期稳定性。
KAM理论可以推广到无穷维偏微分方程中。对微扰进行分类，我们可以得到有界微扰方程（如非线性波方程与薛定谔方程）和无界微扰方程（如KdV方程和DNLS方程）。对于有界微扰方程，一维空间已经有了完善的理论，而高维空间也有较多成果。而Kadomtsev-Petviashvili方程的KAM理论仍然是开放问题。对于无界微扰方程，学界已经证明了全维度不变环面（full dimensional invariant torus）的存在性和环面作用下的估计。环面的衰减性质仍然有待研究。
接着，胡教授将重心放在了她所研究的DNLS方程上。该方程本身存在阿诺德散射，但胡教授提出，可以引入KAM环面，得到与微扰无关的长期稳定性估计。对于无界微扰，同调方程里的系数规模影响了KAM迭代的有效性。对此，胡教授介绍了她与合作者基于改进的kuksin引理和辛坐标变换所完成的证明。
三
下期预告
理工学院致力于营造校园科研学术氛围，让师生在轻松愉快的氛围中热烈讨论相关学术内容。小编也愈发期待下期10月20日由柯志海教授带来的精彩学术报告！我们不见不散哦！
感谢各位老师同学的大力支持和配合，如果大家对本系列活动有任何建议或意见，欢迎发送邮件至sse@cuhk.edu.cn，你们的建议将对本活动的持续发展提供帮助！
文案 | 周诗璟 理工学院 逸夫书院
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